إذا دخلت عالم الرياضيات المتقدمة أو مسائل مثل Project Euler فستجد أن هناك مجموعة من المتتاليات (Sequences) تظهر باستمرار. سأعطيك خريطة ذهنية سريعة لأشهرها، ثم أشرح فكرة كل واحدة ولماذا هي مهمة.
ما هي المتتالية؟
المتتالية هي قائمة أعداد مرتبة:
[
a_1,a_2,a_3,a_4,\dots
]
مثل:
[
1,2,3,4,5,\dots
]
كل عدد يسمى حدًا (Term).
1) المتتالية الحسابية (Arithmetic Sequence)
كل مرة نضيف مقدارًا ثابتًا.
مثال:
[
2,5,8,11,14,\dots
]
الفرق دائمًا = 3.
الصيغة:
a_n=a_1+(n-1)d
حيث:
(a_1) الحد الأول
(d) الفرق المشترك
تظهر في:
العد المنتظم
الفوائد البسيطة
مسائل الجمع
2) المتتالية الهندسية (Geometric Sequence)
كل مرة نضرب في عدد ثابت.
مثال:
[
2,6,18,54,\dots
]
كل حد = السابق × 3
الصيغة:
[
a_n=a_1 r^{n-1}
]
حيث (r) النسبة المشتركة.
تظهر في:
النمو السكاني
الفوائد المركبة
الخوارزميات الأسية
3) متتالية فيبوناتشي (Fibonacci)
أشهر متتالية في العالم.
[
1,1,2,3,5,8,13,21,\dots
]
كل حد:
[
F_n=F_{n-1}+F_{n-2}
]
تظهر في:
البرمجة الديناميكية
الأشجار
نظرية الأعداد
الطبيعة
4) متتالية لوكاس (Lucas)
قريبة جدًا من فيبوناتشي.
[
2,1,3,4,7,11,18,\dots
]
نفس القانون:
[
L_n=L_{n-1}+L_{n-2}
]
لكن البداية مختلفة.
5) أعداد Pell
بما أنك سألت عنها مؤخرًا.
البداية:
[
0,1,2,5,12,29,70,\dots
]
القانون:
[
P_n=2P_{n-1}+P_{n-2}
]
تظهر في:
المعادلات الديوفانتية
التقريبات الكسرية لـ (\sqrt2)
6) أعداد كاتالان (Catalan)
من أهم المتتاليات في علوم الحاسب.
البداية:
[
1,1,2,5,14,42,132,\dots
]
تستخدم في عد:
الأشجار الثنائية
الأقواس الصحيحة
بعض مسائل العد التوافقي
7) الأعداد المثلثية (Triangular Numbers)
تمثل عدد النقاط في مثلث.
[
1,3,6,10,15,21,\dots
]
الصيغة:
T_n=\frac{n(n+1)}{2}
مثال:
[
1+2+3+4+5=15
]
8) الأعداد المربعة (Square Numbers)
[
1,4,9,16,25,36,\dots
]
الصيغة:
[
n^2
]
مهمة جدًا في:
الهندسة
نظرية الأعداد
9) الأعداد المكعبة (Cube Numbers)
[
1,8,27,64,125,\dots
]
الصيغة:
[
n^3
]
10) الأعداد الأولية (Prime Numbers)
[
2,3,5,7,11,13,17,\dots
]
هذه ليست متتالية بقانون تكراري بسيط.
هي أساس:
التشفير
RSA
نظرية الأعداد
11) متتالية فاكتوريال (Factorial)
[
1,2,6,24,120,720,\dots
]
حيث:
[
n!
]
مثال:
[
5!=120
]
تظهر في:
التباديل
الاحتمالات
12) أعداد ميرسين (Mersenne)
[
2^n-1
]
مثل:
[
3,7,31,127,\dots
]
مرتبطة بالأعداد الأولية العملاقة.
13) أعداد Fermat
[
F_n=2^{2^n}+1
]
البداية:
[
3,5,17,257,65537
]
مهمة تاريخيًا في الهندسة ونظرية الأعداد.
14) متتالية Collatz
إذا كان العدد زوجيًا:
[
n \rightarrow \frac{n}{2}
]
إذا كان فرديًا:
[
n \rightarrow 3n+1
]
مثال:
[
6 \rightarrow 3 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow ...
]
وهي مرتبطة بواحدة من أشهر المسائل غير المحلولة.
15) متتالية هوفستاتر (Hofstadter)
متتالية غريبة تعتمد على نفسها.
مثال:
[
Q(n)=Q(n-Q(n-1))+Q(n-Q(n-2))
]
تظهر أحيانًا في Project Euler والمسائل المتقدمة.
لو كنت تريد التركيز على Project Euler
فأهم المتتاليات التي ستقابلك كثيرًا هي:
Fibonacci
Pell
Lucas
Catalan
Triangular
Square
Cube
Prime Numbers
Factorials
Collatz
هذه وحدها تظهر في نسبة كبيرة جدًا من المسائل.
والجميل أن كثيرًا منها ينتمي لعائلة واحدة اسمها Linear Recurrence Sequences (المتتاليات التراجعية الخطية)، وفيبوناتشي ولوكاس وPell مجرد أفراد مختلفة من نفس العائلة. فهم هذه الفكرة يفتح بابًا كبيرًا في الرياضيات والخوارزميات المتقدمة.
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق